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Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen


Presentamos la parte final de de la sinopsis del nuevo libro de Juan Brinsen; "Derecho y fango. Una teoría matemática del Derecho", que busca realizar un análisis sobre el derecho/conocimiento jurídico, pero en vez de hacerlo desde una perspectiva jurídica, lo hace desde una perspectiva matemática, lo que le permite alcanzar conclusiones sorprendentes dada la cantidad de relaciones que se pueden encontrar



Los seguidores de FIDE saben –sabemos-, que un grupo de expertos de esta Fundación ha reflexionado sobre la reforma de la Constitución y puesto en común un documento que puede consultarse en este enlace.

El enfoque de este documento, como no puede ser menos, es jurídico; así debe ser. Pero si el pensamiento lateral sirve de algo, si quisiéramos jugar un poco, moviendo conceptos de sitio, ¿qué pasaría...? Si preguntásemos -por ejemplo a las matemáticas- qué opinan de la reforma constitucional, ¿qué nos dirían? ¿Es matemáticamente oportuno, razonable, modificar una norma, sea la que sea…?

Según las pautas del derecho curvo que veíamos en un artículo anterior, la modificación de una norma puede tratarse matemáticamente. Si esto posible, sin que lo tomen a uno por lunático, lo siguiente sería sacar conclusiones, a la vista del actual estado del ordenamiento español, curvado como está, con todas sus ramas un poco lacias (unas más que otras, ciertamente). Una de estas conclusiones, que ya anticipamos, es la siguiente: un ordenamiento jurídico saturado, como el nuestro, prefiere la derogación (la resta), antes que la modificación, variante de la suma, pues toda suma sin resta deja en el aire más preguntas que respuestas.

Parece un trabalenguas, dirán ustedes. Me explico. Cual paciente cebado a medicinas, el ordenamiento jurídico español está atiborrado de normas, repleto de mandatos. Tanto le pesan sus ramas que el viejo roble está caído. Para aligerar el árbol normativo, lo mejor sería podarlo. Así retomaría cierta posición airosa, ya que no vertical, pues es tarde para enderezarlo...

Y esto que dicta el sentido común, lo corroboran las matemáticas. 

Cuando se aprueba una norma, o se modifica, sin derogar nada en su lugar (y aquí no vale la conocida fórmula del legislador perezoso: quedan derogadas cuantas normas se opongan a la presente ley), la modificación aporta al orden jurídico más desorden e incertidumbre que la simple aprobación de una norma por otra, a la que sustituye y deroga (suma y resta).

Vamos a verlo, desde un punto de vista matemático. En artículos anteriores de esta serie hemos usado imágenes como pirámides y curvas, para hablar de las normas jurídicas. Pero tal vez no sea suficiente... ¿Han oído hablar de la teoría de redes?

Las matemáticas llamadas discretas abordan el universo de los números, es decir, de todo aquello que se puede contar. Sin embargo, hay otra faceta de las matemáticas, llamada topología, que no es la ciencia de los topos, sino una rama específica que nace a partir del siglo XVIII, al hilo de las aportaciones del eminente matemático que fue Leonardo Euler, cuya solución al famoso problema de los siete puentes de Königsberg, marcó el arranque de otras reflexiones, muy abstractas y lineales –realmente prácticas-, pero no geométricas.

Y es que a la topología no le interesan demasiado los conjuntos numéricos, con sus proposiciones verdadero/falso; le seduce más el universo de las formas y estudiarlas, ver cómo cambian y cómo continúan siendo ellas, a pesar de los cambios. Para entenderlo mejor, si la geometría se ocupa de cuerpos estáticos (ángulos, áreas, triángulos, cubos, etc.), la topología se ocupa de los objetos como si fueran un chicle o una goma... Por eso se dice que los mejores topólogos son los niños, cuando juegan a doblar, moldear o estirar la misma forma. 

Otro chiste define a los topólogos como aquellas personas que no distinguen una taza de una rosquilla. Para la topología, que tiene nombre de mujer, ambas formas son equivalentes.

Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen
Dos figuras son equivalentes si una es convertible en otra.

La topología es una ciencia versátil, aplicable a infinidad de campos, desde el diseño de imágenes hasta la ingeniería industrial; desde la informática hasta las rutas de reparto. La estructura de doble hélice del ADN, por ejemplo, símbolo de la biología y emblema de la ciencia moderna, es una imagen topológica. 

Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen
La topología actual analiza funciones como la continuidad, la conectividad, la compacidad, las isometrías (rotaciones, traslaciones, etc.), y comprende tres campos (1): 
  • La teoría de grafos, sobre dos ejemplos clásicos: el problema de los siete puentes de Königsberg, y el teorema de los cuatro colores, que parece un juego de niños pero no lo es, como apunta M. Stadler. 
  • La teoría de nudos, con aplicaciones en biología molecular, física, etc. 
  • La teoría de superficies, que clasifica todas las superficies compactas. 
Faltaría añadir la ciencia jurídica, como el cuarto campo topológico, en la humilde opinión de quien esto suscribe. 

Es una broma…

El primer grafo.

Se dice que la teoría de los grafos parte de la reflexión del matemático Leonhard Euler, cuando se enfrentó al acertijo de los siete puentes de Königsberg, ciudad alemana de renombre en la historia del pensamiento, no sólo matemático, pues en ella nació nada menos que Emmanuel Kant, el gran filósofo prusiano de la Ilustración, en 1724. 

El enigma de los siete puentes es la versión prusiana del camino idóneo para llegar a un sitio, sin pasar dos veces por otro. Por cierto que averiguar el camino más corto es uno de los problemas típicos de la teoría de grafos, por no decir de la vida cotidiana, cuestión que ya han resuelto, como todos sabemos, los sistemas norteamericanos GPS (Global Positioning System), basados precisamente en dicha teoría. 

Pero volviendo a la ciudad de Königsberg, resulta que estaba atravesada por siete puentes, cuya intriga consistía en recorrerlos de una vez, sin pasar dos veces por el mismo puente. En 1736, don Leonard Euler, vecino de Königsberg, y miembro de la Academia Prusiana de las Ciencias, se preguntó por la solución a este problema, que distraía a sus convecinos, y encontró que no la tenía: no era posible pasar recorrer todos los puentes pasando una sola vez por cada uno.  

Para demostrarlo, Euler esquematizó el mapa de los siete puentes, quitando lo que sobraba y convirtiéndolo en un dibujo, una abstracción, divida en cuatro regiones (cuatro puntos). 
Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen

Si los siete puentes hubieran estado en línea, o en círculo, los lugareños de Königsberg los hubieran recorrido de una vez (y se hubieran quedado sin su famoso acertijo). Sin embargo, el que hubiera caminos intermedios, como se ve en el diagrama, era precisamente el meollo del asunto.  

Para resolverlo, Euler razonó que todo puente intermedio tendría que tener un par de caminos (o líneas): uno de llegada y otro de salida. Sólo el primer puente y el último puente estarían conectados al dibujo por un camino impar, de salida en el caso del primero y de llegada hasta el último de los siete que forma el recorrido. 

Los puntos que se ven en el dibujo son únicamente los intermedios, dibujados por Euler, que desechó el resto. Si lo observamos detenidamente, nos daremos cuenta de que hay tres puntos conectados por tres líneas y un punto conectado por cinco. Tanto “tres” como “cinco” son números impares. No hay ningún punto conectado por un par de líneas. De modo que la solución de recorrer los siete puentes de una vez y sin repetir ninguno, era imposible, porque ningún puente intermedio podía ser recorrido por un camino par.  

De esta manera, tan elegante como ingeniosa, Euler resolvió para siempre el problema, dando origen a una concepción matemática “situacional”, “posicional” –topológica, diríamos hoy-, esquematizada de forma muy intuitiva, por medio de líneas que unen puntos. Había nacido el primer grafo.  

Si se fijan, aquí el cálculo no interviene para nada, y la geometría se quedaba corta; así que, desde 1736, la teoría de grafos no ha hecho sino crecer y convertirse en muchas otras cosas (la teoría de redes, singularmente), con facetas diversas de exploración y desarrollo. 

En seguida veremos las redes normativas, de las que descubriremos su alcance, y la pinta que tienen, pero importa destacar que todas estas construcciones parten de la conexión primordial entre dos puntos. Lo cual inspira uno de los axiomas de la teoría de grafos, que lleva el ecuánime nombre de lema de darse la mano, basado en el razonamiento de los siete puentes. Igual que un puente enlaza dos caminos, siempre son dos personas las que se dan la mano. Por eso, en una reunión, el número de personas que se dan la mano siempre es par. Y, por paradójico que nos parezca, nos daremos cuenta de que el número impar de personas que se dan la mano siempre es par. Si siete personas dan la mano a otros siete, son catorce los que se dan la mano. 

¿Curioso, verdad? Pues lo que sigue a continuación es igual de simple: si quisiéramos dibujar un grafo normativo, podríamos hacerlo así:
Donde A sería la ley, B el decreto y C la orden ministerial. Un grafo dirigido y por niveles. Tres normas jurídicas que se dan la mano.
Donde A sería la ley, B el decreto y C la orden ministerial. Un grafo dirigido y por niveles. Tres normas jurídicas que se dan la mano.

Las redes normativas

En realidad, hay muchos tipos de grafos, desde el organigrama de una empresa, basado en la jerarquía de cargos, hasta el diseño de una red ferroviaria. Uno de los más conocidos en el mapa de una red de metro. Los planos del metro son de colores porque sólo pueden comprenderse en colores, lo cual es un acierto, no sólo estético, pues su solución se inspira en el problema de los cuatro colores y en un número deducido de este problema, llamado número cromático. 

Los grafos describen todo tipo de conexiones entre puntos (ya sean personas, animales, cosas, lugares, conceptos…), comparan pesos (grafos ponderados), trazan ciclos, forman árboles, etc.  

Este grafo de un proceso penal (2) se abre en dos árboles raíces, con varios subgrafos
(2) Descarga gratuita del programa SmartDraw, https://www.smartdraw.com/network-diagram/
(2) Descarga gratuita del programa SmartDraw, https://www.smartdraw.com/network-diagram/

Y si pasamos de los grafos a las redes, más prolijas, existen aplicaciones informáticas capaces de visualizarlas, identificando tendencias, direcciones, formas, a veces de singular belleza. Este árbol, por ejemplo, muestra las relaciones de Internet (3). 
Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen

Asumido este punto de vista, el ordenamiento jurídico puede ser representado como un núcleo de conexiones o relaciones entre las diversas normas que lo integran. Siguiendo la teoría de grafos, el ordenamiento podría ser construido como un enorme grafo dirigido y conexo.  

Una posible modelización sería: 
  • Sea G un grafo dirigido formado por el par de vértices (u, v) siendo “u” el conjunto de normas jurídicas y “v” el conjunto de aristas determinadas por el rango. 
Empleando el programa informático oportuno (hay unos cuantos), veríamos las aproximadamente doscientas mil normas jurídicas que forman el Derecho vigente español como un mapa voraz de puntos y flechas. 

Pero lo veremos mejor si dibujamos el grafo del llamado bloque de constitucionalidad, formado por la Constitución española de 1978 y los Estatutos de Autonomía de las nacionalidades y regiones.  

Un árbol raíz con 17 hojas.
Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen

Su matriz sería la siguiente:
Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen

Nótese la mayoría aplastante de ceros (290) sobre unos (34). 

Al tratarse de un grafo en árbol, no es preciso darle un sentido o dirigirlo, ya que por definición el árbol gráfico es subordinado. 

De tal manera que si generásemos subárboles (subárbol 1: leyes; subárbol 2: decretos; subárbol 3: órdenes; subárbol 4: resoluciones, etc…), el número de ceros crecería exponencialmente. Y los ceros son ceros. Vértices inconexos en grafos débiles conexos, o menos conexos de lo que muchos juristas creen, en un desorden progresivo que hemos bautizado como calor tonto o entropía. Calor legal, en resumen, que añade una pila incesante de ceros al cociente, antes de aprobar la norma siguiente. 

Se podría objetar que el árbol siempre será un grafo débil, pues crece a partir de una raíz única, sin ramas horizontales, sólo verticales, ya que en otro caso no sería un árbol, sino una red...  

En realidad, la topología permite modelar y cambiar las formas sin alterar su esencia. Árbol, pirámide o red, lo decisivo de toda norma jurídica es su carácter subordinado respecto del conjunto. Su modelización en árbol sugiere que cuanto mayor número de hojas se añadan, mayor será su peso y más frágiles sus conexiones. 

El peso del árbol.

Los grafos ponderados son aquellos que calculan o ponderan pesos. Para ponderar, el grafo etiqueta sus líneas con números. Números que reflejan el coste, la duración, la distancia, etc., dependiendo del problema de que se trate. Por ejemplo, si un agente comercial necesita tomar el tren para ir de Zaragoza a Alicante, con distintos trayectos y salidas, el grafo etiquetaría cada trayecto con su peso, es decir, con la hora respectiva de su llegada a destino. 
Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen

Si nos preguntásemos ahora por el peso de una norma, una respuesta podría ser la suma de sus artículos. En un árbol normativo, ciertamente, la suma de artículos o disposiciones etiqueta el peso de sus ramas. 

Si trasladamos la premisa al ejemplo del llamado bloque de constitucionalidad, el peso de este árbol sería el siguiente. 

Constitución española: 184 artículos o disposiciones. 

Estatutos de autonomía:
Los grafos, las redes, el Derecho; por Juan Brinsen

En un árbol gráfico: 

El peso del árbol de la constitucionalidad en España es de 1.958 artículos. A poco que comparemos, si los mandamientos de la Ley de Dios son diez, y siete los artículos de la Constitución de los Estados Unidos de América; si las disposiciones de la Ley Fundamental alemana son ciento cuarenta y seis, y no llegan a doscientos los artículos del bloque constitucional francés (formado por la Constitución de 1949 y otras leyes agregadas), da la impresión de que al árbol español –con casi dos mil artículos- no le vendría mal una poda. 

Ahí tienes una opinión matemática sobre la reforma constitucional, me dice mi amigo Q. 
(Continuará)

(1) Según clasificación de la profesora Marta Macho Stadler, en su artículo ¿Qué es la topología?, febrero de 2002, disponible en Internet.
(2) Descarga gratuita del programa SmartDraw, https://www.smartdraw.com/network-diagram/  
(3) Representación gráfica de los ISP y nodos de Internet. Fuente: jurvetson @ Flickr. Licencia: CC BY 2.0 

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